masinio aptarnavimo teorija

mãsinio aptarnãvimo teòrija, taikomoji tikimybių teorijos šaka, nagrinėjanti masinio aptarnavimo sistemų matematinius modelius. Masinio aptarnavimo sistema yra objektas (įmonė, organizacija, specialus padalinys ir kita), kurio veikla susijusi su daugkartiniu kokių nors vienarūšių užduočių ir operacijų vykdymu (vadinamuoju paraiškų srautų aptarnavimu). Tokių sistemų funkcionavimas aprašomas specialiais atsitiktiniais procesais – aptarnavimo procesais, kurie tiriami tikimybių teorijos metodais. Paprastais atvejais masinio aptarnavimo sistema nusakoma 3 elementais: aptarnavimo paraiškų srautu, paraiškų aptarnavimo linijų skaičiumi ir aptarnavimo trukmėmis bei tvarka. Kai paraiškos gaunamos pavieniui, jų srautas aprašomas taškiniu procesu, dažniausiai daroma prielaida, kad laiko intervalų tarp gretimų paraiškų gavimo momentų ilgiai yra nepriklausomi, vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai. Būdingais atvejais aptarnavimo trukmės t. p. yra nuo paraiškų srauto nepriklausomi, vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai. Pagal aptarnavimo tvarką masinio aptarnavimo sistema gali būti be eilės (paraiškos, gautos į neturinčias tuo metu laisvų aptarnavimo linijų masinio aptarnavimo sistemas, išeina iš sistemos neaptarnautos, pvz., taip veikia automatinės telefono stotys), ribotos eilės (yra baigtinis laukimo vietų skaičius, pvz., bilietų kasa, parduotuvė, oro uostas) ir neribotos eilės (laukimo vietų skaičius neribotas). Masinio aptarnavimo teorijos pagrindiniai uždaviniai: nustatyti sąlygas, kada egzistuoja stacionariosios aptarnavimo procesų charakteristikos, jas rasti analizės metodais arba Monte Carlo metodu ir parinkti masinio aptarnavimo sistemos racionalų modelį. Pvz., yra N aptarnavimo linijų turinti masinio aptarnavimo sistema be eilės. Kai intervalų tarp gretimų paraiškų atvykimo momentų ilgiai ir aptarnavimo trukmės turi eksponentinius skirstinius su parametrais λ ir µ, tai stacionarios tikimybės p_k, kad sistemoje yra užimta k aptarnavimo linijų, aprašomos Agnerio Krarupo Erlango formule: $p_k=\frac{1}{k!}{\left(\frac{\lambda }{\mu }\right)}^k{\left(\sum _{j=0}^N\frac{1}{j!}{\left(\frac{\lambda }{\mu }\right)}^j\right)}^{-1}$, k = 0,1, ..., N. Remdamasi modernia taškinių procesų teorija ir stochastine analize masinio aptarnavimo teorija nagrinėja daugybę masinio aptarnavimo sistemų modifikacijų: masinio aptarnavimo sistema su aptarnavimo prioritetu, masinio aptarnavimo sistema su grupiniu paraiškų atvykimu ir grupiniu aptarnavimu, masinio aptarnavimo sistemų tinklus, valdomas masinio aptarnavimo sistemas ir kita. Masinio aptarnavimo teorijos metodai taikomi draudos matematikoje, sprendžiant sandėliavimo, transporto, komunikacijų, karybos, kompiuterių tinklų, sveikatos apsaugos ir kitų sričių uždavinius.

Istorija

Masinio aptarnavimo teorijos pradininkas danų matematikas, statistikas ir inžinierius Agneris Krarupas Erlangas 1909–29 nagrinėjo telefono tinklų darbą, jų matematinius modelius, todėl masinio aptarnavimo teorijoje prigijo daug sąvokų, susijusių su ryšių sistemomis. 20 a. 4 dešimtmetyje nepriklausomai vienas nuo kito prancūzų matematikas ir inžinierius Leo Félixas Pollaczekas ir rusų matematikas A. Chinčinas rado svarbią formulę aptarnavimo pradžios laukimo laiko stacionariam skirstiniui apskaičiuoti neribotos eilės masinio aptarnavimo sistemų atveju. Modernioji masinio aptarnavimo teorija prasidėjo 1951 anglų matematikui Davidui Georgeʼui Kendalliui išplėtojus įdėtųjų procesų koncepciją. 1952 anglų statistikas Dennisas Victoras Lindley nustatė fundamentaliąją rekurentinę lygtį neribotos eilės masinio aptarnavimo sistemų aptarnavimo pradžios laukimo laikams ir šia lygtimi masinio aptarnavimo teoriją susiejo su atsitiktinių klaidžiojimų teorija. 1955 anglų statistikas Davidas Roxbeeʼis Coxas pateikė papildomų komponenčių metodą, kuris leido masinio aptarnavimo teorijoje pritaikyti A. Markovo procesų teoriją (Markovo procesas). 7 dešimtmečio pradžioje nepriklausomai vienas nuo kito anglų matematikas Johnas Frankas Charlesas Kingmanas ir rusų matematikas J. Prochorovas inicijavo stipriai apkrautų masinio aptarnavimo sistemų aprašančiųjų procesų difuzinę aproksimaciją. Šia kryptimi daug nuveikė rusų matematikas Aleksandras Borovkovas, anglų matematikas Donaldas Lee Iglehartas, Jungtinių Amerikos Valstijų matematikas Wardas Whittas ir kiti.

Lietuvoje

Nustatytos taškinių procesų sumų konvergavimo į Poissono procesą būtinos ir pakankamos sąlygos (B. Grigelionis, 1963; apibendrino švedų mokslininko Conrado Palmo ir A. Chinčino gautus rezultatus) leidžia pagrįsti dažnai taikomą prielaidą, kad masinio aptarnavimo sistemos paraiškų srautas yra Poissono procesas. Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos instituto mokslininkai B. Grigelionis, R. Mikulevičius, Saulius Minkevičius yra paskelbę veikalų apie stipriai apkrautų daugiafazių masinio aptarnavimo sistemų paraiškų aptarnavimo laukimo laikų ir eilių ilgių difuzinę aproksimaciją.

678