mãto teòrija, mãto ir integrãlo teòrija, nagrinėja mato ir integralo egzistavimą, konstravimą, savybes ir taikymą. Mato teroijos pagrindas yra mačiosios erdvės sąvoka. Pvz., E – bet kokia netuščioji aibė, \(\mathscr{F}\) – jos poaibių sistema, tenkinanti šias aksiomas: visa aibė E priklauso sistemai \(\mathscr{F}\); jei aibė A priklauso sistemai \(\mathscr{F}\), jos papildinys Ac = E\A priklauso \(\mathscr{F}\); bet kokių aibių iš \(\mathscr{F}\) sekos sąjunga priklauso sistemai \(\mathscr{F}\). Tokia aibių sistema vadinama σ‑algebra (sigma algebra). Matu σ‑algebroje \(\mathscr{F}\) vadinama joje apibrėžta neneigiamoji funkcija m, tenkinanti šias aksiomas: tuščiosios aibės ∅ matas m(∅) = 0; jei An, n = 1, 2, ..., yra nesikertančiųjų aibių iš \(\mathscr{F}\) seka, jų sąjungos matas lygus tų aibių matų sumai , tada trejetas (E, \(\mathscr{F}\), m) vadinamas mačiąja erdve. Dažniausiai iš pradžių matas apibrėžiamas kokioje nors paprastesnių aibės E poaibių sistemoje (pvz., poaibių algebroje), po to pratęsiamas į daug platesnę σ‑algebrą. Analogiškai realiosios funkcijos f, apibrėžtos aibėje E, integralas ∫Ef(x)m(dx) mato m atžvilgiu iš pradžių apibrėžiamas paprastosioms funkcijoms f su baigtiniu įgyjamų skirtingų reikšmių skaičiumi kaip suma ∑iyim(Ai); čia yi – funkcijos f reikšmės, Ai – aibės, kuriose tos reikšmės įgyjamos (apibrėžimo korektiškumui reikia, kad f būtų mačioji funkcija). Po to integralas pratęsiamas į daug platesnę klasę funkcijų, kurios yra paprastų funkcijų sekų ribos. Yra kitokių mato ir integralo konstravimo schemų, pvz., vadinamojoje Danieliaus schemoje iš pradžių konstruojamas integralas, po to – jį atitinkantis matas. Mato teorija plačiai taikoma matematinėje, funkcinėje analizėje, yra šiuolaikinės tikimybių teorijos pagrindas.
1690
-sigma algebra