matrica

mãtrica (lot. matrix, kilm. matricis – patelė), stačiakampė tam tikrų elementų (paprasčiausia – skaičių) lentelė. Matricos elementai rašomi horizontaliomis eilutėmis ir vertikaliais stulpeliais lenktiniuose skliaustuose: $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{\mathit{mn}}\end{array}\right)$ arba A = (a_ij), arba A = ‖a_ij‖. Matrica, turinti m eilučių ir n stulpelių, vadinama (m × n) matrica. Matrica, kurios eilučių ir stulpelių skaičius vienodas, vadinama kvadratine. Kvadratinės matricos eilučių (arba stulpelių) skaičius vadinamas jos eile. Su kvadratine matrica siejama skaitinė vertė, vadinama jos determinantu. n eilės kvadratinės matricos C = (c_ij) elementai su vienodais indeksais c_ii (i = 1, ..., n) sudaro pagrindinę matricos įstrižainę. Kvadratinė matrica, kurios elementai, nesantys pagrindinėje įstrižainėje, lygūs 0, vadinama diagonaliąja; ši matrica vadinama vienetine (žymima E arba I), jei c_ii = 1 (i = 1, ..., n). Matrica, kurios visi elementai lygūs 0, vadinama nuline. Determinantas, susidedantis iš matricos elementų, esančių pasirinktų k eilučių ir k stulpelių susikirtime, vadinamas tos matricos k eilės minoru. Didžiausia nelygių nuliui matricos minorų eilė vadinama jos rangu. Dviejų (m × n) matricų A = (a_ij) ir B = (b_ij) suma (skirtumu) vadinama matrica C = (c_ij) = A ± B, kurios elementai lygūs šių matricos atitinkamų elementų sumai (skirtumui): c_ij = a_ij ± b_ij; i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n. Matricos A ir skaičiaus a sandauga vadinama matrica aA, gaunama kiekvieną A elementą padauginus iš a. Matricų A ir B sandauga S = AB apibrėžiama tik kai A stulpelių skaičius lygus B eilučių skaičiui. Jei A yra (m × p) matrica, B – (p × n) matrica, tai S = (s_ij) yra (m × n) matrica, kurios elementai apskaičiuojami iš formulės $S_{\mathit{ij}}=\sum _{k=1}^p{a}_{\mathit{ik}}{b}_{\mathit{kj}}$; i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n, pvz., $\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 3& 0& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& -3\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-3+0-4+3+0\\ 3+0+0-6+0-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 3& -8\end{array}\right)$. Matricų veiksmai turi skaičių veiksmų savybes, išskyrus daugybos komutatyvumą: ne visada galioja lygybė AB = BA. 2 nenulinių matricų sandauga gali būti nulinė matrica, pvz., $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$. Pakeitus matricos A eilutes stulpeliais, gaunama transponuotoji matrica A′, arba A^T. Transponuota matricų A ir B sandauga tenkina lygybę (AB)′ = B′A′. Kvadratinė matrica C vadinama simetrine, jei C = C′, reguliariąja (neišsigimusia), jei jos determinantas |C| ≠ 0. Kiekviena reguliarioji matrica C turi atvirkštinę matricą C^–1, kuri tenkina sąlygą C·C^–1 = E; jos elementai apskaičiuojami iš formulės $C_{\mathit{ij}}^{(-1)}=\frac{A_{\mathit{ij}}}{\mid C\mid }$; čia A_ij – elemento c_ij adjunktas. Jei C ir D yra reguliariosios matricos ir jei jų eilės sutampa, tai (CD)^–1 = D^–1C^–1. Jei egzistuoja reguliarioji matrica Q, tenkinanti lygybę D = Q^–1CQ, matricos C ir D yra panašios. Nenulinis stulpelis X vadinamas kvadratinės matricos C tikriniu vektoriumi, o skaičius 1 – tikrine reikšme, jei CX = lX. Matricos tikrinės reikšmės ir tik jos yra matricos charakteristinės lygties |C – λE| = 0 šaknys. Naudojantis matricomis sprendžiamos tiesinių algebrinių lygčių sistemos. Tokios sistemos matricinė forma yra AX = B; čia A – koeficientų matrica, X – kintamųjų ir B – laisvųjų narių stulpelis. Jei A – reguliarioji kvadratinė matrica, sistema turi vienintelį sprendinį X = A^–1B, jei A – stačiakampė m × n matrica, kurios rangas r = m < n, sistema gali neturėti sprendinio arba turėti be galo daug sprendinių. Matricų teorija naudojamasi daugelyje matematikos šakų, kvantinėje mechanikoje, elektrotechnikoje.

Matricos sąvoką 19 a. viduryje pirmieji pavartojo W. R. Hamiltonas ir A. Cayley. Matricų teorijos pagrindus 19 a. antroje pusėje sukūrė K. Weierstrassas ir F. G. Frobenius.