mažiausiųjų kvadratų metodas

mažiáusiųjų kvadrãtų metòdas, būdas, kuriuo randami skirstinio nežinomųjų parametrų statistiniai įverčiai. Tariama, kad Y₁, Y₂, ..., Y_n yra nepriklausomi, vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai, o jų vidurkiai EY_i yra tiesinės nežinomųjų parametrų θ₁, θ₂, ..., θ_m funkcijos: ${\mathit{EY}}_i=\sum _{j=1}^m{a}_{\mathit{ij}}{\theta }_j$; čia a_ij – žinomi koeficientai, i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m, m < n, o dispersijos lygios σ². Parametrų θ₁, θ₂, ..., θ_m įverčiai parenkami taip, kad atsitiktinių dydžių Y₁, Y₂, ..., Y_n nuokrypių nuo jų vidurkių kvadratų suma $S=\sum _{i=1}^n{\left(Y_i-\sum _{j=1}^m{a}_{\mathit{ij}}{\theta }_j\right)}^2$ būtų minimali. Suma S tampa minimali, kai θ₁, θ₂, ..., θ_m reikšmių dalinės išvestinės $\frac{\partial S}{\partial {\theta }_k}$ virsta nuliu: $\frac{\partial S}{\partial {\theta }_k}=-2\sum _{i=1}^n{a}_{\mathit{ik}}\left(Y_i-\sum _{j=1}^m{a}_{\mathit{ij}}{\theta }_j\right)=0$, k = 1, 2, ..., m(∗). Jei žinomų koeficientų matricos A = ‖a_ij‖ rangas lygus m, lygčių sistema (∗) turi tik vieną sprendinį $\widehat{\theta }={(A^{T}A)}^{-1}{A}^{T}Y$; čia Y = (Y₁, Y₂, ..., Y_n)^T, $\widehat{\theta }={\left(\widehat{{\theta }_1},\widehat{{\theta }_2},\mathrm{...},\widehat{{\theta }_m}\right)}^T$ – parametrų $\widehat{{\theta }_1},\widehat{{\theta }_2},\mathrm{...},\widehat{{\theta }_m}$ įverčiai (indeksas T reiškia transponuotąją matricą). Įverčių $\widehat{{\theta }_1},\widehat{{\theta }_2},\mathrm{...},\widehat{{\theta }_m}$ dispersijos yra minimalios visų tiesinių nepaslinktųjų įverčių aibėje. Nepaslinktasis dispersijos σ² įvertis $\widehat{{\sigma }^2}$ reiškiamas formule: $\widehat{{\sigma }^2}=\frac{1}{n-m}{Y}^T\left(I-A{(A^{T}A)}^{-1}{A}^T\right)Y$; čia I – vienetinė matrica. Bet kurios tiesinės nežinomųjų parametrų funkcijos ${\lambda }^T\widehat{\theta }$ tiesinis nepaslinktasis įvertis yra statistika ${\lambda }^T\widehat{\theta }$; čia λ = (λ₁, λ₂, ..., λ_m)^T. Šis įvertis turi mažiausią dispersiją visų tiesinių λ^Tθ įverčių aibėje. Jei atsitiktiniai dydžiai Y₁, Y₂, ..., Y_n pasiskirstę normaliai, įvertis $\widehat{\theta }$ turi m‑matį normalųjį skirstinį su vidurkių vektoriumi θ = (θ₁, θ₂, ..., θ_m) ir kovariacine matrica σ²(A^T A)^–1, o santykis $\widehat{{\sigma }^2}/{\sigma }^2$ turi χ² skirstinį su n–m laisvės laipsnių; šiuo atveju atsitiktinis vektorius $\widehat{\theta }$ ir atsitiktinis dydis $\widehat{{\sigma }^2}$ yra nepriklausomi. Mažiausiųjų kvadratų metodo rezultatai padeda skaičiuoti parametrų intervalinius įverčius, tikrinti tų parametrų hipotezes ir apdoroti statistinius duomenis.

Mažiausiųjų kvadratų metodą 1794–95 sukūrė C. F. Gaussas ir 1805–06 A.-M. Legendre’as ir pritaikė geodeziniams bei astronominiams matavimams apdoroti. Matematiškai pagrindė A. Markovas, A. Kolmogorovas.