mètrinė erdv, áibės mètrinė struktūrà, aibė X su joje apibrėžta metrika d; žymima (X, d). Metrinė erdvė – atstumo sąryšiu susietų objektų aibės matematinė samprata. Pvz., realiųjų skaičių aibė R yra metrinė erdvė su metrika ρ, bet kuriems x ∈ R ir y ∈ R apibrėžta realiųjų skaičių x ir y skirtumo modulio reikšmėmis ρ(x, y) = |x – y|. Svarbiausias metrinės erdvės tyrimo klausimas yra jos elementų konvergavimas. Metrinės erdvės (X, d) elementų seka {xn : n = 1,2, ...} konverguoja, jei egzistuoja toks elementas x ∈ X, kad bet kuriam realiajam skaičiui ε > 0 galima rasti tokį natūralųjį skaičių N, kad d(xn, x) < ε visiems n ≥ N, be to, aibės X elementų seka {xn : n = 1,2, ...} vadinama fundamentaliąja, arba Cauchy, jei bet kuriam realiajam skaičiui ε > 0 galima rasti tokį natūralųjį skaičių N, kad d(xn, xm) < ε visiems n ≥ N ir m ≥ N. Metrinė erdvė vadinama pilnąja, jei kiekviena jos elementų fundamentalioji seka konverguoja. Metrinė erdvė vadinama kompaktine, jei iš kiekvienos jos elementų sekos galima išrinkti konverguojančiąją seką. Realiųjų skaičių metrinė erdvė (R, ρ) yra pilnoji, bet nėra kompaktinė, o racionaliųjų skaičių aibė su ta pačia metrika ρ yra metrinė erdvė, bet nėra pilnoji. Metrinė erdvė (X, d) vadinama aprėžtąja, jei egzistuoja toks realusis skaičius c, kad d(x, y) < c visiems x ∈ X ir y ∈ X. Metrinėje erdvėje (X, d) atstumas tarp aibės X elemento x ir bet kurio jos poaibio M yra aibės {d(x, y) : y ∈ M} infinimumas ir žymimas d(x, M). Metrinė erdvė (X, d) vadinama visiškai aprėžta, jei su bet kuriuo realiuoju skaičiumi ε > 0 galima rasti tokią baigtinę X elementų aibę M, kad d(x, M) < ε su kiekvienu x ∈ X. Visiškai aprėžta ir pilnoji metrinė erdvė yra kompaktinė. Realiųjų skaičių uždarasis intervalas [0,1] su metrika ρ yra kompaktinė metrinė erdvė. Aibės X poaibio M uždariniu (aibėje X) vadinama aibė tų y ∈ X, kuriems d(y, M) = 0. Metrinė erdvė X vadinama separabiliąja, jei egzistuoja skaičioji jos elementų aibė, kurios uždarinys yra visa X. Aibės uždarymo operacija apibrėžia metrinės erdvės (X,d) uždarąsias aibes, o šios apibrėžia topologiją aibėje X, vadinamą d metrikos generuota topologija. Metrinių erdvių teorija plėtojasi keliomis kryptimis. Viena jų yra bendroji metrinių erdvių teorija, tirianti aibių izometrijos atžvilgiu invariantiškas metrinės erdvės savybes; tai pilnumas, aprėžtumas, visiškasis aprėžtumas ir kita. Kita metrinių erdvių plėtotės kryptis yra topologinė metrinių erdvių teorija, tirianti homeomorfizmo atžvilgiu invariantiškas metrinės erdvės savybes, t. y. kompaktiškumą, separabilumą ir kita. Plėtojama papildomą struktūrą turinčių metrinių erdvių teorija, tirianti metrines erdves, kuriose algebrinė struktūra (vektorinė erdvė, grupė) suderinta su metrika. Tokių metrinių erdvių pavyzdžiai yra Euklido erdvė, Hilberto erdvė, Banacho erdvė ir kitos.
Metrinės erdvės struktūros sąvoką pirmą kartą 1906 pavartojo M. R. Fréchet nagrinėdamas aibes, kurių elementai yra funkcijos.
1751