natūralieji skaičiai

natūraleji skačiai, skaičiai yra aritmetikos operacijomis susietų matematikos objektų begalinė seka. Natūraliųjų skaičių sekos nariai žymimi skaitmenimis 1, 2, 3 ir taip toliau. Kai kuriose matematikos srityse nulis taip pat laikomas natūraliuoju skaičiumi. Natūralieji skaičiai yra skaičių sistemų pagrindinė sudedamoji dalis; taip pat vadinami sveikaisiais teigiamais skaičiais. Natūraliųjų skaičių sąryšius tiria skaičių teorija. Pavyzdžiui, siekiama įvertinti pirminių skaičių pasiskirstymą natūraliųjų skaičių sekoje. Natūralieji skaičiai naudojami skaičiuojant arba nustatant tvarką. Natūralieji skaičiai matematikoje apibrėžiami nurodant pagrindines jų savybes, vadinamas natūraliųjų skaičių aksiomomis. Visos kitos natūraliųjų skaičių savybės gaunamos įrodymo būdu iš aksiomų. Pagrindinės savybės formuluojamos: objektų rinkiniui X, vienetu vadinamam X elementui, žymimam 1, bei tęsiniu vadinamai operacijai t = t(·), apibrėžtai X elementų aibėje (skliausteliuose tašku žymimas operacijos priklausymas nuo argumento – aibės X elemento). Vienetas yra natūraliųjų skaičių sekos pirmasis narys, o natūraliojo skaičiaus n tęsinys yra natūralusis skaičius n + 1. Natūraliaisiais skaičiais vadinamas mažiausias rinkinys X, kurio elementams galioja Peano aksiomos: 1. t(x) ≠ 1 kiekvienam rinkinio X elementui x; 2. jei x ≠ y, tai t(x) ≠ t(y) visiems rinkinio X elementams x ir y; 3. jei A yra tokia rinkinio X elementų aibė, kad 1 priklauso A ir tęsinys t(x) priklauso A su kiekvienu x iš A, tai aibei A priklauso visi rinkinio X elementai. Šios aksiomos reiškia, kad objektai 1, t(1), t(t(1)) ir t. t. yra skirtingi ir vieninteliai natūralieji skaičiai. Naudojant vienetą ir tęsinį apibrėžiamos pagrindinės aritmetikos operacijos – suma ir daugyba. Skaičių ir aritmetikos operacijų savybės įrodomos naudojant trečiąją Peano aksiomą, kuri yra vienas iš matematinės indukcijos variantų. Kita trečiosios aksiomos forma gaunama vietoj aibės sąvokos naudojant skaičių savybės sąvoką ir vietoj vienos aksiomos naudojant aksiomų schemą, priklausančią nuo savybių rinkinio. Pastaroji Peano aksiomų versija vadinama Peano aritmetika ir naudojama logikoje. Peano aritmetika yra metateorijos tyrimo objektas ir nagrinėjama matematinės teorijos suderinamumo bei neprieštaringumo požiūriu.

Matematinę natūraliųjų skaičių sampratą plėtojo Hermannas Güntheris Grassmannas (1861), F. L. G. Frege (1884), R. J. W. Dedekindas (1888), G. Peano (1889). Metateorines Peano aritmetikos problemas sprendė K. Gödelis (1931), Gerhardas Karlas Erichas Gentzenas (1936).

1751