neapibrėžtųjų koeficientų metodas

neapibrėžtjų koeficieñtų metòdas, sprendinio, kaip žinomų funkcijų tiesinio darinio (kombinacijos), konstravimas. Šio darinio koeficientams rasti dažniausiai sudaroma tiesinių lygčių sistema. Neapibrėžtųjų koeficientų metodas taikomas racionaliosioms funkcijoms skleisti paprastosiomis trupmenomis. Pvz., reiškinio $\frac{3x}{(x-1)(x+2)}=\frac{M}{x-1}=\frac{N}{x+2}$ koeficientai yra tiesinės sistemos $\left\{\begin{array}{c}M+N=3\\ 2M-N=0\end{array}\right.$ sprendinys: M = 1, N = 2. Bendruoju atveju racionalioji funkcija $\frac{P_l(x)}{Q_n(x)}$ (čia P_l ir Q_n yra l‑tojo ir n‑tojo laipsnio daugianariai) skleidžiama dviejų tipų paprasčiausių trupmenų suma: $\sum _k\frac{A_k}{{(x-x_k)}^{n_k}}+\sum _j\frac{B_{j}x+C_j}{{(x^2+p_{j}x+q_j)}^{m_j}}$; čia $Q_n(x)=\prod _k{(x-x_k)}^{n_k}\prod _j{(x^2+p_{j}x+q_j)}^{m_j}$, x_j yra daugianario Q_n(x) n_k‑ojo kartotinumo realiosios šaknys, o skaičiai $\frac{-p_j\pm \text{i}\sqrt{4q_j-p_j^2}}{2}$ – jo kompleksinės šaknys. Tokio skleidinio egzistavimas išplaukia iš pagrindinės algebros teoremos: n laipsnio polinomas (daugianaris) turi n kompleksinių šaknų, tarp kurių gali būti realiosios ir kartotinės. Taigi n_k ≥ 1, m_j ≥ 1 ir n₁ + n₂ ... + ... + 2 (m₁ + m₂ + ...) = n. Kitas neapibrėžtųjų koeficientų metodo taikymas yra tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties y⁽ⁿ⁾ + a₁y^{(n - 1)} + ... + a_n–1y′ + a_ny = f(x) su pastoviais koeficientais a_j atskirojo sprendinio radimas, kai dešinioji pusė turi specialų pavidalą f(x) = e^ax(P_n(x)cosβx + Q_n(x)sinβx). Tada ieškomos tokio pavidalo lygties atskirasis sprendinys: y(x) = x^ke^ax(R_n(x)cosβx + T_n(x)sinβx; čia R_n ir T_n yra polinomai su neapibrėžtaisiais koeficientais. Skaičius k lygus nuliui, kai kompleksiniai skaičiai α ± iβ nėra charakteristinės lygties λⁿ + a₁λ^n-1 + ... + a_n–1λ + aⁿ = 0 šaknys. Priešingu atveju k lygus šaknies kartotinumui. Polinomų R_n, T_n koeficientams rasti nagrinėjami reiškinių e^axx^njcosβx, e^axx^njsinβx, daugikliai ir sudaroma 2 (n + 1) tiesinių lygčių sistema. Panašiai neapobrėžtųjų koeficientų metodu sprendžiamos tiesinės rekurenčiosios m‑osios eilės nehomogeninės lygtys su pastoviaisiais koeficientais. Neapibrėžtųjų koeficientų metodas sudaro įvairių lygčių apytikslių sprendimo metodų pagrindą, kai nagrinėjami tam tikrų funkcijų begaliniai tiesiniai dariniai (kombinacijos), o jų baigtinės dalys yra ieškomų sprendinių artiniai. Pvz., diferencialinės lygties sprendinys ieškomas laipsninės arba trigonometrinės eilutės su neapibrėžtaisiais koeficientais pavidalo.

577