Newtono metodas

Newtono metodo sprendimo kreivė f(x)

Newtono metodas (Niùtono metòdas), skaitinis metodas vieno kintamojo lygtims su realiaisiais koeficientais spręsti. Naudojamas netiesinėms lygtims spręsti. Pvz., sprendžiant lygtį f(x) = 0 pasitelkiama paveiksle pavaizduota kreivė y = f(x). Reikia rasti tašką x = s, kuriame ji kerta x ašį. Newtono metodas taikomas taip: pasirenkamas nulinis artinys x⁽⁰⁾; per kreivės y = f(x) tašką, kurio abscisė x⁽⁰⁾, brėžiama liestinė; randamas liestinės sankirtos su x ašimi taškas (šis taškas yra pirmasis artinys x⁽¹⁾); per kreivės tašką, kurio abscisė x⁽¹⁾, vėl brėžiama liestinė, analogiškai randamas antrasis artinys x⁽²⁾ ir taip toliau. Newtono metodas konverguoja, jeigu pradinis (nulinis) artinys x⁽⁰⁾ yra pakankamai arti tiksliojo sprendinio s. Skaičiavimai baigiami, kai pataisos modulis |x⁽ⁿ⁾ – x^(n–1)| arba liekanos modulis |f(x⁽ⁿ⁾)| tampa pakankamai mažas.

Matematinė Newtono metodo išraiška yra tokia: jei žinomas n-tasis artinys x⁽ⁿ⁾, tada (n + 1) artinys x⁽ⁿ⁺¹⁾ tenkina lygtį f'(x⁽ⁿ⁾)(x⁽ⁿ⁺¹⁾ – x⁽ⁿ⁾) = – f(x⁽ⁿ⁾); čia f'(x⁽ⁿ⁾) yra funkcijos f(x) išvestinė taške x = x⁽ⁿ⁾. Aprašytą vienmatį Newtono metodą nesunku apibendrinti M netiesinių lygčių sistemos f_i(x₁, x₂, ..., x_M) = 0 (i = 1, 2, ..., M) sprendimui. Šiuo atveju n-tąjį artinį nusako jau ne viena vertė x⁽ⁿ⁾, o vektorius x⁽ⁿ⁾ (skaičių stulpelis), kurį sudaro M verčių $x_1^{(n)},x_2^{(n)},\dots ,x_M^{(n)}$, ir per kiekvieną iteraciją reikia spręsti M tiesinių lygčių sistemą. Panaudojus matricų algebros žymenis, tą tiesinių lygčių sistemą galima užrašyti tokiu pačiu pavidalu kaip ir vienam nežinomajam: F_x(x⁽ⁿ⁾)(x⁽ⁿ⁺¹⁾ – x⁽ⁿ⁾) = – F(x⁽ⁿ⁾); čia F_x yra funkcijų f_i (i = 1, 2, ..., M) dalinių išvestinių kvadratinė matrica, kuri vadinama netiesinių lygčių sistemos jakobianu, o F yra funkcijų f_i stulpelis (vektorius).

Newtono metodą 1669 sukūrė Ι. Newtonas.

484