normalusis skirstinys

normalieji skirstiniai, kai σ = 1/2, σ = 1, σ = 2

normalùsis skirstinỹs, Gausso skirstinys (Gáuso skirstinỹs), atsitiktinio dydžio tankio funkcija $\rho (x)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{2\pi }}\sigma }\exp \left\{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\right\}$, –∞ < x < ∞; čia σ > 0 ir µ – skirstinio parametrai. Skirstinys su parametrais µ = 0 ir σ = 1 vadinamas standartiniu normaliuoju. Skirstinių, kai µ ≠ 0, grafikai yra tokie pat, tik jų viršūnės abscisė yra µ, o ne 0. Atsitiktinio dydžio X normaliojo skirstinio parametras µ yra jo vidurkis, o σ² – jo dispersija. Jei b ≠ 0, tai dydžio µ + bX skirstinys taip pat yra normalusis su vidurkiu a + bµ ir dispersija b²σ². Dydis X užrašomas pavidalu µ + σX₀; čia X₀ – atsitiktinis dydis, turintis standartinį normalųjį skirstinį. Tikimybė, kad X pateks į kokį nors intervalą, išreiškiama standartine normaliąja pasiskirstymo funkcija Φ(x): .

Standartinis normalusis skirstinys yra simetrinis 0 atžvilgiu: P{X₀ < –x} = P{X₀ > x} su visais x. Taigi Φ(–x) = 1 – Φ(x). Todėl statistinėse lentelėse paprastai pateikiamos tik Φ(x) reikšmės, atitinkančios x ≥ 0. Kai σ → 0, normalusis skirstinys silpnai konverguoja į skirstinį, sukoncentruotą µ taške, todėl kartais pastarasis skirstinys taip pat vadinamas normaliuoju (su parametrais µ ir 0). k‑mačio atsitiktinio vektoriaus X skirstinys vadinamas k‑mačiu normaliuoju, jei bet koks dydis t^TX pasiskirstęs normaliai; čia t ∈ R^k. k‑matis normalusis skirstinys nusakomas, nurodant jo vidurkį µ ∈ R^k ir kovariacijų matricą Σ kuri yra neneigiamai apibrėžta k × k matrica. Jei Σ apgręžiamoji, tokio skirstinio tankis $\rho (x)=\frac{1}{{(\mathrm{2\pi })}^{k/2}\text{det Σ}}\exp \left\{-\frac{1}{2}{(x-\mu )}^{\text{T}}{\text{Σ}}^{-1}(x-\mu )\right\}$, x ∈ R^k. Jei det Σ = 0, skirstinys sukoncentruotas tam tikroje µ + E pavidalo aibėje; čia E yra R^k erdvės poerdvis, nesutampantis su visa R^k. Tegu X yra k‑matis vektorius, pasiskirstęs normaliai su parametrais µ ir Σ. Jei B yra l × l matrica, o a ∈ R^l, tai vektoriaus a + BX skirstinys taip pat normalusis su parametrais a + Bµ ir BΣB^T. X užrašomas µ + Σ^1/2X₀ pavidalu; čia X₀ yra k‑matis atsitiktinis vektorius, turintis standartinį k‑matį normalųjį skirstinį (su vidurkiu 0 ir kovariacijų matrica, lygia vienetinei matricai I). Jei Y yra bet koks l‑matis normaliai pasiskirstęs atsitiktinis vektorius, nepriklausantis nuo X, tai (k + l)‑mačio vektoriaus (X, Y) skirstinys – taip pat normalusis. Standartinis k‑matis normalusis skirstinys invariantinis posūkių atžvilgiu: jei X₀ pasiskirstęs normaliai su parametrais 0 ir I, o Q – bet kokia ortogonalioji matrica, tai QX₀ skirstinys taip pat standartinis normalusis. Iš centrinės ribinės teoremos išplaukia, kad normaliuoju skirstiniu aproksimuojami nepriklausomų atsitiktinių vektorių sumų skirstiniai, todėl jis labai svarbus ir tikimybių teorijoje, ir matematinėje statistikoje. Daugelis gyvenime stebimų atsitiktinių dydžių yra nepriklausomų veiksnių bendras efektas, todėl normalieji modeliai labai populiarūs ir kituose moksluose, pvz., statistinėje fizikoje, ekonometrijoje ir kitur.

Normaliojo skirstinio tankio funkcija pirmąkart pavartota 1734 A. de Moivre’o straipsnyje, kuriame jis nagrinėjo Bernoulli tam tikro skirstinio aproksimaciją. A. de Moivre’o rezultatą 1812 apibendrino P. S. de Laplace’as, įrodęs pirmąjį centrinės ribinės teoremos variantą, dabar vadinamą Moivre’o ir Laplace’o teorema. Normalųjį skirstinį, kaip tam tikro atsitiktinio dydžio skirstinį, 1809 pirmąkart pavartojo C. F. Gaussas.

1502