operacinis skaičiavimas

operãcinis skaičiãvimas, įvairių, dažniausiai diferencialinių ir integralinių lygčių sprendimo matematinis metodas. Taikant operacinį skaičiavimą diferencialiniai ir integraliniai reiškiniai pakeičiami algebriniais ir vietoj diferencialinių, integralinių ar kitų sudėtingų lygčių sprendžiamos daug paprastesnės algebrinės lygtys. Nežinomoji, funkcija f(t), apibrėžta, kai t ≥ 0, vadinama pirmavaizdžiu, jos Laplace’o transformacija $L[f]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{zt}f(t)dt$ – bendruoju atveju kompleksinio kintamojo z funkcija F(z) – vaizdu. Elementariųjų funkcijų vaizdai išreiškiami racionaliosiomis funkcijomis: $L[\cos t]=\frac{z}{z^2+1}$, $L[\sin t]=\frac{1}{z^2+1}$, $L[t^n]=\frac{n!}{z^{n+1}}$, $L[e^t]=\frac{1}{z-1}$. Pirmavaizdžio f’(t) integralo $\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)\mathit{ds}$ vaizdas yra $\frac{F(z)}{z}$. Tai reiškia, kad sudėtingas funkcijos integravimo procesas keičiamas paprastu dalybos veiksmu. Pirmavaizdžio išvestinės f′(t) vaizdas randamas taip: L[f′] = zF(z) – f(0), taigi funkcijos diferencijavimo operacija keičiama daugyba. Taikant šią formulę dar kartą, gaunamas pirmavaizdžio antrosios išvestinės vaizdas L[f ′′] = z²F(z) – zf ′(0) – f ′(0). Panašiai užrašomi aukštesniųjų eilių išvestinių vaizdai. Paminėkime kelias Laplace’o transformacijos savybes. Tiesinės lygties Laplace’o transformacija užrašoma kaip nauja tiesinė lygtis, kurioje pirmavaizdžiai (kintamojo t funkcijos) keičiami vaizdais (kintamojo z funkcijomis). Pavyzdžiui, antrosios eilės tiesinė diferencialinė lygtis y′ + y′ = 1 su nulinėmis pradinėmis sąlygomis (Cauchy uždavinys) y(0) = y′(0) = 0 operaciniu metodu sprendžiamas taip. Pažymimas nežinomos funkcijos – pirmavaizdžio – y(t) vaizdas Y(z). Remiantis pradinėmis sąlygomis užrašomi pirmosios ir antrosios išvestinių vaizdai zY(z) ir z²Y(z). Lygties dešiniosios pusės (konstantos 1) vaizdas yra $\frac{1}{z}$, todėl nežinomajam vaizdui Y(z) rasti sudaroma algebrinė (operatorine lygtis) – $z^{2}Y(z)+\mathit{zY}(z)=\frac{1}{z}$. Iš čia gaunama $Y(z)=\frac{1}{z(z^2+z)}$ ir galima racionaliąją funkciją išskleisti elementarių racionaliųjų trupmenų suma (tas pats metodas taikomas integruojant racionaliąsias funkcijas su nežinomaisiais koeficientais A, B, C: $\frac{1}{z(z^2+z)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z^2}+\frac{C}{(1+z)}$). Taikant neapibrėžtųjų koeficientų metodą, gauname A = –1, B = C = 1. Taigi lieka rasti racionaliųjų funkcijų (vaizdų) $\frac{1}{z}$, $\frac{1}{z^2}\frac{C}{(1+z)}$, pirmavaizdžius. Jie randami iš formulių $L[1]=\frac{1}{z}$, $L[t]=\frac{1}{z^2}$, $L[e-t]=\frac{1}{1+z}$. Pateikto pavyzdžio sprendinys y(t) = A + Bt + Ce^–t = –1 + t + e^–t. Bendruoju atveju pirmavaizdis išreiškiamas atvirkštine Laplace’o transformacija – kompleksinio kintamojo funkcijos netiesioginiu integralu – $f(t)=L^{-1}[F(z)]=\frac{1}{\mathit{z\pi i}}\underset{x-i\infty }{\overset{x+i\infty }{\int }}{e}^{\mathit{zt}}F(z)\mathit{dz}$. Šiam integralui tirti taikomi kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos metodai: reziduumai leidžia reikšti kai kurių elementariųjų funkcijų pirmavaizdžius t. p. elementariosiomis arba specialiosiomis funkcijomis, pirmavaizdžiai reiškiami laipsninėmis eilutėmis. Operacinis skaičiavimas taikomas elektrotechnikos uždaviniams spręsti – vietoj elektrines grandines nusakančių integralinių diferencialinių lygčių rašomos operatorinės lygtys ir jų sistemos. Pvz., standartiniai elektrinių grandinių elementai, turintys varžą R, induktyvumą L ir talpą C, keičiami operatorine varža R, operatoriniu induktyvumu Lz ir operatorine talpa $\frac{1}{\mathit{Cz}}$. Pereinamasis procesas elektrinėje grandinėje modeliuojamas tiesinių (operatorinių) lygčių sistema nežinomų funkcijų vaizdams rasti.

Šį metodą 19 a. pabaigoje pradėjo taikyti anglų fizikas ir inžinierius Oliveris Heaviside’as. Vėliau metodas matematiškai pagrįstas Laplace’o transformacija. Operacinis skaičiavimas gali būti grindžiamas ne tik Laplace’o, bet ir kitomis transformacijomis. Operacinis skaičiavimas naudojamas apibendrintoms diferencialinėms lygtims su kintamaisiais koeficientais, dalinių išvestinių lygtims ir kitoms lygtims spręsti.

A. Barauskas, Z. Navickas, V. Tėvelis Kompleksinio kintamojo funkcijos ir operacinis skaičiavimas Vilnius 1986; E. Dagienė, E. Kirjackis, A. Krylovas Operacinis skaičiavimas Vilnius 2000; J. Rimas Operacinis skaičiavimas Kaunas 2006.

577