optimaliojo valdymo teorija

optimãliojo vadymo teòrija, matematikos sritis, nagrinėjanti uždavinius kaip parinkti geriausią būdą valdomam dinaminiam procesui vykdyti, jų matematinės raiškos galimybes ir sprendimo metodus. Dinaminis procesas reiškiamas matematine lygtimi, kuri priklauso nuo parametro, vadinamo valdymu. Uždavinio sprendinys – geriausio valdymo parametro parinkimas. Tokių uždavinių sprendimas tapo ypač aktualus 20 a. 6 dešimtmečio pradžioje plėtojant kosminius tyrimus. Pvz., raketai leidžiantis ant Mėnulio paviršiaus valdomas dinaminis procesas yra raketos skrydis erdvėje. Jo būseną kiekvienu laiko momentu apibūdina raketos greitis, svoris, turimo kuro kiekis ir atstumas iki reikiamo taško. Geriausias uždavinio sprendinys būtų rasti tokią raketos skridimo trajektoriją, kuria skriejant ji sunaudotų mažiausiai kuro (skridimas valdomas reguliuojant variklio traukos jėgą). Optimaliojo valdymo uždavinys matematiškai apibūdinimas taip – nagrinėjamo dinaminio proceso būsena laiko momentu t išreiškiama realiųjų skaičių vektoriumi x(t) = (x₁(t), ..., x_n(t)). Laikui t kintant intervale [t₀, t₁], šios vektorių reikšmės apibrėžia funkciją x, vadinamą būsenos funkciją. Proceso valdymui apibūdinti (tai priklauso nuo sprendžiamo uždavinio) pasirenkama kita funkcija u, galimai priklausanti nuo laiko t ar kitų dydžių. Proceso dinamiką apibrėžia sąryšiai, siejantys nepriklausomąjį kintamąjį t, funkcijas x ir u. Tokie sąryšiai gali būti reiškiami paprastąja diferencialinių lygčių sistema x = f(x, u, t), kurios sprendinys x, jei egzistuoja, apibūdina proceso vykdymo būdą. Kad diferencialinių lygčių sistema turėtų vienintelį sprendinį, būtinos prielaidos apie funkcijos f glodumą, jos argumentų kitimo sritis. Proceso valdymo optimalumo kriterijumi dažniausiai pasirenkamas tam tikras funkcionalas J, priklausantis nuo būsenos x ir valdymo parametro u. Valdymas u yra optimalus, jei jis funkcionalui J suteikia minimalią arba maksimalią reikšmę, o tokia funkcija u vadinama optimaliuoju valdymu. Diferencialinių lygčių sistemos x = f(x, u, t), atitinkančios optimalųjį valdymo parametrą u, vienintelis sprendinys x vadinamas optimaliąja trajektorija. Matematinės optimaliojo valdymo teorijos pagrindai buvo sukurti 1956–61 remiantis Levo Pontriagino, Vladimiro Boltianskio ir Revazo Gamkrelidzės (visi SSRS) darbais. Šios teorijos svarbiausia išdava yra būtinos sąlygos optimaliajam valdymui, kurios dažnai vadinamos Pontriagino maksimumo principu. Pakankamas optimaliojo valdymo sąlygas galima apibūdinti Hamiltono-Jacobi-Bellmano lygtimi, kuri yra Richardo Ernesto Bellmano (Jungtinės Amerikos Valstijos) sukurtos dinaminio programavimo teorijos rezultatas. Optimaliojo valdymo teorijos plėtrą skatino jos ryšiai su kitomis matematikos šakomis. Daug prisidėjo funkcinės analizės metodų taikymas, t. p. ryšių Liapunovo stabilumo teorijos su valdomų dinaminių sistemų teorija radimas. Vėliau sukurta stochastinė optimaliojo valdymo teorija grindžiama stochastinių diferencialinių lygčių teorija. Optimaliojo valdymo teorijos uždaviniai siejami su variacinio skaičiavimo uždaviniais, kurie turi skirtingą nagrinėjamų lygčių bendrumą, lygčių parametrų kitimą ir apribojimą. Kartais terminas matematinė optimaliojo valdymo teorija reiškia neklasikinių variacinio skaičiavimo uždavinių sprendimą. Plačiąją prasme šiai teorijai priskiriami uždaviniai, kurių sprendimas reikalauja kurios nors rūšies optimizavimo; tokia optimaliojo valdymo teorija apima operacijų tyrimo, matematinio programavimo ir lošimų teorijos elementus.

1751