ortogonalioji funkcijų sistema

ortogonalióji fùnkcijų sistemà, kvadratu integruojamų funkcijų aibė, kurios elementai poromis yra ortogonalūs vienas kito atžvilgiu. Pvz., aibėje X su matu μ apibrėžtų ir Banacho erdvei L²(X, μ) su skaliarine sandauga ( ·, · ) priklausančių funkcijų aibė {φ_k : k = 1, 2,…} yra ortogonalioji funkcijų sistema, jei (φ_k, φ_l) = 0, kai k ≠ l ir (φ_k, φ_k) = λ_k > 0 kiekvienam k. Jei λ_k = 1 visiems k, tai sistema vadinama ortonormuota. Ortogonalioji funkcijų sistema {φ_k : k = 1, 2,…} vadinama pilnąja, jei kiekvienai L²(X, μ) erdvės funkcijai f egzistuoja tokia skaičių aibė {c_k : k = 1, 2,…}, kurios funkcijų eilutė Σ_kc_kφ_k konverguoja erdvėje L²(X, μ) ir jos suma yra funkcija f. Sakoma, kad eilutė Σ_kc_kφ_k yra funkcijos f skleidinys Fourier eilute sistemos {φ_k : k = 1, 2,…} atžvilgiu, o skaičiai c_k = (f, φ_k), kiekvienam k, vadinami Fourier eilutės koeficientais. Trigonometrinių funkcijų aibė {1/2, sin(kt), cos(kt) : k = 1, 2,…}, apibrėžtų intervale X = [0,2π] su Lebesgue’o matu λ, yra ortonormuota funkcijų sistema erdvėje L²([0,2π], λ). Funkcijų skleidinys gaunamas naudojant trigonometrinių funkcijų ortogonaliąją sistemą yra klasikinė Fourier eilutė. Kai kuriuos ortogonaliosios funkcijų sistemos atvejus pradėjo naudoti L. Euleris 18 a. pabaigoje. 19 a. ortogonaliųjų funkcijų sistemas nagrinėjo F. W. Besselis, G. Lamé, P. S. de Laplace’as, Émileʼis Léonardas Mathieu (Prancūzija), 1896 A. Liapunovas įrodė trigonometrinių funkcijų uždarumą.

1751