paklaidų teorija

paklaid teòrija, matematinės statistikos šaka, tirianti apytiksliai išmatuotų fizikinių dydžių matavimo paklaidas ir jų mažinimo galimybes atliekant pakartotinius matavimus panašiomis sąlygomis. Paklaidų teorijos pagrindus sukūrė C. F. Gaussas, išplėtojo W. S. Gossetas (slapyvardis Studentas) ir R. A. Fisheris. Tarkime, kad x₁, x₂, …, x_n yra kokio nors fizikinio dydžio a tapačiomis sąlygomis atlikti pakartotiniai matavimai. Jais remiantis reikia sudaryti a įvertį (imties funkcija nežinomiems skirstinio parametrams vertinti), kuris būtų artimesnis a, negu atskiras matavimas x_i. C. F. Gaussas pasiūlė matematinį modelį, pagal kurį matavimo rezultatai x₁, x₂, …., x_n yra vienodai pasiskirsčiusių nepriklausomų atsitiktinių dydžių X₁, X₂, …, X_n reikšmės. Kiekvienas atsitiktinis dydis X_i išreiškiamas matuojamo dydžio a, sisteminės paklaidos b ir atsitiktinės paklaidos Δ_i suma a + b + Δ_i. Sisteminė paklaida įgyja tą pačią reikšmę atliekant pakartotinius matavimus. Atsitiktinė paklaida įgyja skirtingas reikšmes aliekant pakartotinius matavimus ir ją lemia daugelis atsitiktinių veiksnių. Pašalinus sisteminę paklaidą, matavimo matematinis modelis yra X_i = a + Δ_i. C. F. Gaussas pasiūlė ir pagrindė esminę paklaidų teorijos prielaidą, kad paklaidų Δ_i tikimybinis skirstinys yra normalusis N(0, σ₂), t. y. atsitiktinio dydžio X_i skirstinys yra normalusis N(a, σ₂), kurį nusako vidurkis a ir dispersija σ₂. Imdami paklaidos rėžiu h = kσ gauname, kad atskiro matavimo tikslumą apibūdina tikimybė Q = P{|X_i – a| ≤ kσ}. Matematinėje statistikoje įrodoma, kad šiame modelyje tam tikra prasme geriausieji (nepaslinkti mažiausios dispersijos) parametrų a ir σ įvertiniai yra atitinkamai $\bar{X}=n^{-1}\sum _{i=1}^n{X}_i$ ir $s^2={(n-1)}^{-1}=\sum _{i=1}^n{(X_i-\bar{X})}^2$, o santykis $\sqrt{n}(\bar{X}-a)/s$ turi vadinamąjį Studento skirstinį su n – 1 laisvės laipsniu. Ieškomo fizikinio dydžio a apytikslė reikšmė yra atsitiktinio dydžio $\bar{X}$ reikšmė x = (x₁ + ... + x_n)/n. Jos tikslumą apibūdina tikimybė .