realusis skaičius

realùsis skačius, realiųjų skaičių aibės R elementas. Aibė R yra racionaliųjų skaičių aibės Q papildymas naujais elementais praplėtus matematikos veiksmų (šaknies traukimo, logaritmo skaičiavimo, lygties sprendimo) taikymo sritį. Realiojo skaičiaus aibė R apibrėžiama aksiomomis arba nurodžius realiojo skaičiaus sudarymo iš racionaliųjų skaičių būdą. Naudojant aksiomas realiųjų skaičių aibe R yra bet kuri aibė, kurios elementams galioja 6 aksiomų grupės: 1–3 aksiomų grupės aibės R elementams apibrėžia sumos ir daugybos veiksmus taip, kad R yra algebrinis kūnas; 4 aksiomų grupė apibūdina tvarką aibėje R; 5 – Archimedo savybė, t. y. kiekvienam realiajam skaičiui r galima rasti tokį natūralųjį skaičių, kuris yra didesnis už r; 6 – tolydumo savybė, t. y. bet kuriai susitraukiančių intervalų sekai [a₁, b₁] ⊃ [a₂, b₂] ⊃ … ⊃ [a_n, b_n] ⊃ … yra bent vienas aibės R elementas, priklausantis visiems intervalams. 1–5 grupės aksiomos galioja racionaliųjų skaičių aibei Q, kuriai negalioja 6 tolydumo aksioma. 6 aksioma ekvivalenti 6′ aksiomai: kiekviena netuščia ir aprėžta realiojo skaičiaus aibė turi mažiausią viršutinį ir didžiausią apatinį rėžį. Realiojo skaičiaus aibė R nėra skaiti; jos racionaliųjų skaičių poaibis yra skaitus. Yra keletas realiojo skaičiaus aibės R sudarymo būdų; vienas jų grindžiamas racionaliųjų skaičių fundamentaliosios sekos sąvoka: racionaliųjų skaičių seka (q_n) yra fundamentalioji, jei kiekvienam racionaliajam skaičiui ε > 0 yra toks natūralusis skaičius N, kad |q_n – q_m| < ε visiems n > N ir m > N. Dvi fundamentaliosios sekos (q_n) ir (q_n′) yra ekvivalenčios, jei kiekvienam racionaliajam skaičiui ε > 0 egzistuoja toks natūralusis skaičius N, kad |q_n – q_n′| < ε visiems n > N. Šis ekvivalentumo sąryšis fundamentaliųjų sekų aibę dalo į nesikertančias tarpusavyje ekvivalenčių sekų klases. Gautoji ekvivalentumo klasių aibė yra realiojo skaičiaus aibė R, t. y. jai galioja visos šešios realiojo skaičiaus aibę apibrėžiančios aksiomų grupės. Šis reliojo skaičiaus sudarymo būdas rodo, kad kiekviena realiojo skaičiaus fundamentalioji seka konverguoja. Racionaliųjų skaičių aibės nepakankamumą ilgio matavimams atrado dar senovės graikai.

Realiojo skaičiaus aibės apibrėžimus patobulino 19 a. viduryje K. Weiertrassas, Heinrichas Eduardas Heine (Vokietija), H. Ch. R. Méray, G. F. L. Ph. Cantoras ir R. J. W. Dedekindas.

1751