riba

ribà, viena svarbiausių matematikos sąvokų. Ja apibūdinamas kintamojo dydžio y, priklausančio nuo kito kintamojo dydžio x, artėjimas prie dydžio b, kai tam tikru būdu kinta x. Riba priklauso nuo atstumo sampratos, t. y. kaip išreiškiamas artumas tarp dydžių; dažniausiai artumas tarp aibės elementų reiškiamas tos aibės elementų aplinkų rinkiniu, vadinamas topologija. Funkcijos f, atvaizduojančios topologinę erdvę X topologinėje erdvėje Y, riba aibės X ribiniame taške a yra elementas b ∈ Y, jei kiekvieną b aplinką V atitinka tokia elemento a aplinka U, kad y = f(x) ∈ V, kai x ∈ U ir x ≠ a. Funkcijos f riba taške a, jei egzistuoja (apibrėžta), yra vienintelė ir žymima $\underset{x\to a}{\lim }$ f(x). Kai X yra metrinė erdvė su metrika d_X, o Y yra pilnoji metrinė erdvė su metrika d_Y, tai yra teisingas ribos egzistavimo Cauchy kriterijus: $\underset{x\to a}{\lim }$ f(x) egzistuoja tada ir tik tada, kai kiekvieną skaičių ε > 0 atitinka toks skaičius δ > 0, kad nelygybė d_Y(f(x),f(z)) < ε galioja, kai x ∈ X, d_X(x, a) < δ ir z ∈ X, d_X(z, a) < δ. Kai X ir Y yra realiųjų skaičių aibės su įprasta atstumo samprata, o a ir b yra realieji skaičiai, tai pagal ribos apibrėžtį $\underset{x\to a}{\lim }$ f(x) = b tada ir tik tada, kai kiekvieną skaičių ε > 0 atitinka toks skaičius δ > 0, kad nelygybė |f(x) – b| < ε galioja, kai x ∈ X ir |x – a| < δ. Kai funkcija f yra realiųjų skaičių seka (y_n), o a yra begalybė ∞, tai pagal ribos apibrėžtį $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }$ y_n = b tada ir tik tada, kai kiekvieną skaičių ε > 0 atitinka toks natūralusis skaičius N, kad nelygybė |y_n – b| < ε galioja, kai n > N. Funkcijos ribos sampratą apibendrina topologinės erdvės filtro riba. Su ribos samprata yra susijusios aibės pilnumo, funkcijos tolydumo, išvestinės, integralo ir kitos matematinės analizės sąvokos.

Intuityviai ribos sąvoka naudojosi Archimedas skaičiuodamas figūrų plotus ir tūrius. 17–18 a. ribos sąvoka rėmėsi I. Newtonas ir G. W. Leibnizas bandydami matematiškai apibūdinti judėjimą. Ribos teoriją 19 a. pradžioje sukūrė B. Bolzano ir A.‑L. Cauchy, vėliau ją plėtojo K. Weierstrassas.

1751