Riemanno erdvė

Riemanno erdvė (Rýmano erdv), Riemanno daugdara (Rýmano daũgdara), topologinė erdvė, kuri kiekvieno jos elemento aplinkoje panaši į Euklido erdvę. Topologinė erdvė Mⁿ yra lokalioji Euklido erdvė, jei egzistuoja toks natūralusis skaičius n, kad kiekvienas Mⁿ elementas x (vadinamas erdvės taškas) turi aplinką U_x, homeomorfinę Euklido erdvės Rⁿ atvirajam poaibiui. Homeomorfizmų φ_x iš U_x į Rⁿ suderinamumas reiškia, kad kompozicija φ_y◦φ_x^–1 yra glodžioji (diferencijuojama) funkcija visiems x ∈ Mⁿ ir y ∈ Mⁿ, kuriems sankirta U_x ∩ U_y nėra tuščia. Rinkinys {(U_x, φ_x) : x ∈ Mⁿ} yra topologinės erdvės Mⁿ diferencialinė struktūra, o Mⁿ – glodžioji daugdara. Su kiekvienu šios daugdaros Mⁿ tašku x galima susieti liestine plokštuma vadinamą tiesinę erdvę T_xMⁿ, kurią sudaro visos galimos kryptys, kuriomis galima nubrėžti liestinę per x (kryptinės išvestinės). Liečiamosios plokštumos T_xMⁿ elementams X ir Y apibrėžiama skaliarinė sandauga < X, Y > = g_x(X, Y); čia g_x – glodžioji argumento x funkcija, vadinama metriniu tenzoriumi, arba Riemanno metrika. Jei glodžioje daugdaroje Mⁿ yra lokaliųjų koordinačių sistema x¹,…, xⁿ, tai metrinis tenzorius g išreiškiamas baze dx¹,…, dxⁿ, t. y. g = Σ_ij·g_ijdxⁱ dx^j. Glodžioji daugdara Mⁿ su glodžiuoju metriniu tenzoriumi g vadinama Riemanno erdve. Svarbi Riemanno erdvės charakteristika yra jos kreivis K, kiekvieno daugdaros Mⁿ taško x aplinkoje apibūdinantis nuokrypį tarp daugdaros Mⁿ ir liečiamosios plokštumos T_xMⁿ. Riemanno erdvės kreivis K apibendrina Gausso kreivį (glodiesiems paviršiams trimatėje Euklido erdvėje) ir jo teoremą: paviršiaus kreivis priklauso tik nuo paviršiaus vidaus geometrijos. Pastovaus, nepriklausančio nuo x, kreivio Riemanno erdvė turi didžiausią judėjimo laipsnį; būna pastovaus teigiamojo (pvz., sfera), neigiamojo (pvz., balnas) ir nulinio kreivio. Pastovaus to paties kreivio erdvės gali globaliai skirtis, pvz., euklidinė plokštuma ir sukimosi cilindras yra nulinio kreivio, bet jų geometrija skiriasi. Riemanno erdvė naudojama bendrojoje reliatyvumo teorijoje.

Svarbiausias šios erdvės idėjas 1854 išdėstė B. Riemannas.

1751