Riemanno geometrija

Riemanno geometrija (Rýmano geomètrija), Riemanno erdvės geometrija; kreivės, paviršiai ir jų savybės. Nagrinėja dvimačių paviršių Euklido erdvėje R³ vidinės geometrijos apibendrinimus Riemanno erdvei (Mⁿ, g); čia Mⁿ yra n‑matė glodžioji daugdara, g jos metrinis tenzorius. Riemanno erdvės kreivė yra diferencijuojama funkcija γ iš realiųjų skaičių intervalo [a, b] į glodžiąją daugdarą Mⁿ su liestinės vektoriumi γ′(t) taške γ(t). Kreivės γ ilgis ℓ(γ) yra integralas ∫|γ′t)|dt = $\sqrt{g({\gamma }^{\text{'}}(t),{\gamma }^{\text{'}}(t))}\mathrm{d}t$. Kampas tarp dviejų kreivių jų susikirtimo vietoje apibrėžiamas kampu tarp atitinkamų liestinių vektorių. Atstumas d (x, y) tarp bet kurių dviejų taškų x ∈ Mⁿ ir y ∈ Mⁿ yra didžiausias apatinis rėžis tarp visų ilgių ℓ(γ) atitinkančių kreivę γ, kuri jungia taškus x ir y; šis atstumas d yra aibės Mⁿ metrika. Metrinės erdvės (Mⁿ, d) indukuota topologija sutampa su pradine daugdaros Mⁿ topologija. Riemanno erdvė Mⁿ vadinama pilnąja, jei ji yra pilnoji kaip metrinė erdvė (Mⁿ, d). Daugdaros Mⁿ du elementus jungianti ir mažiausią ilgį turinti kreivė γ vadinama geodezine; ji yra Euklido erdvės tiesės analogas Riemanno geometrijoje. Per kiekvieną daugdaros Mⁿ tašką x turimąja kryptimi eina viena ir tik viena geodezinė kreivė. Jei kiekvieną geodezinę kreivę galima neribotai pratęsti, tai tokia Riemanno erdvės savybė vadinama geodeziniu pilnumu; pagal Hopfo ir Rinowo teoremą geodezinis pilnumas yra ekvivalentus (metriniam) pilnumui. Bet kuriuos du pilnosios Riemanno erdvės taškus galima sujungti geodezine kreive. Kai n‑matės Riemanno erdvės Mⁿ k‑mačiuoju paviršiumi vadinamas Mⁿ poaibis S, turintis k‑matės Riemanno erdvės struktūrą ir atvaizdavimas iš S į Mⁿ tenkina tam tikras savybes, natūralieji skaičiai k ir n tenkina nelygybę 1 ≤ k ≤ n. Naudojant lokaliąsias koordinates k‑matis paviršius nusakomas lygčių sistema xⁱ = xⁱ(u¹,…, u^k), i = 1,…, n, kurios Jacobi matricos rangas yra k; kai k = 1, k‑matis paviršius sutampa su kreive.

Svarbiausias šių geometrijų idėjas 1854 išdėstė B. Riemannas ir be įrodymų pateikė pastovaus teigiamojo ir neigiamojo kreivio erdvių formules. Vėliau Riemanno geometrija buvo plėtojamos 2 kryptimis: E. Beltrami, A. Cayley, F. Ch. Kleinas, M. S. Lie, Friedrichas Heinrichas Schuras (Vokietija) nagrinėjo pastovaus kreivumo Riemanno erdves, Elwinas Bruno Christoffelis (Vokietija), R. O. S. Lipschitzas bendrąsias Riemanno erdves. Įvairių Riemanno geometrijos apibendrinimų sukūrė H. Weylis, Janas Arnoldusas Schoutenas (Nyderlandai), É. J. Cartanas, A. Aleksandrovas, Venjeminas Kaganas, Aleksejus Pogorelovas, Igoris Širokovas (visi SSRS).

1751