Riemanno integralas

Riemanno integralas (Rýmano integrãlas), matematinės analizės sąvoka, kuria apibendrinama funkcijos, grafiku ribojamos srities geometrinėje plokštumoje, ploto samprata. Tegul f yra realioji funkcija, apibrėžta realiųjų skaičių intervale [a, b], o (x₀, x₁, …, x_n) ir (y₁, …, y_n) yra tokie [a, b] taškai, kad a = x_0[ ≤ y₁ ≤ x₁ ≤ … ≤x_n–1 ≤ y_n ≤ x_n = b. Suma S = f(y₁)(x₁ – x₀) + … + f(y_n)(x_n – x_n–1) vadinama integraline suma. Jei egzistuoja realusis skaičius I ir bet kuriam ε > 0 atitinka toks δ > 0, kad |I–S| < ε, kai didžiausias ilgis x_i–x_i–1 yra mažesnis už δ, tai funkcija f yra integruojama Riemanno prasme ir I vadinamas jos Riemanno integralu intervale [a, b] ir žymimas ${\int }_a^{b}fx\mathrm{d}x$ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}fx\mathrm{d}x$. Funkcija f yra integruojama Riemanno prasme tada ir tik tada, kai ji yra aprėžta ir jos trūkio taškų aibės Lebesgue’o matas yra lygus nuliui. Riemanno integralo sąvoką 1853 pasiūlė B. Riemannas. Apie 1960 Jaroslavas Kurzweilas (Čekija) ir Ralphas Henstockas (Didžioji Britanija) apibrėžė šį integralą vietoje teigiamo skaičiaus δ naudodami teigiamą funkciją δ(·). Kurzweilo ir Henstocko prasme integruojamų funkcijų klasė yra didesnė už tą klasę funkcijų, kuriomis apibrėžtas Lebesgue’o integralas.

1751