Riemanno neeuklidinė geometrija

Riemanno neeuklidinė geometrija (Rýmano neeukldinė geomètrija), elipsnė geomètrija, viena neeuklidinių geometrijų, pagrįsta aksiomomis, besiskiriančiomis nuo Euklido geometrijos aksiomų. Jai galioja Riemanno pakeista Euklido aksioma apie lygiagrečias tieses (Euklido V postulatas): per tašką A, nesantį tiesėje a, taško ir tiesės plokštumoje nėra nė vienos tiesės, einančios per tašką A ir nekertančios tiesės a. Trimatės Riemanno neeuklidinės geometrijos pagrindinės sąvokos – taškas, tiesė ir plokštuma; jas apibūdinanti aksiomų sistema panaši į D. Hilberto Euklido geometrijos aksiomų sistemą. Priklausymo ir tvarkos aksiomos sutampa su projekcinės geometrijos aksiomomis. Jos kongruencijos aksiomos mažai kuo skiriasi nuo Euklido geometrijos kongruencijos aksiomų. Kaip ir projekcinės geometrijos plokštumoje 2 tiesės visada susikerta; tiesė nedalija plokštumos į 2 dalis (bet kuriuos 2 plokštumos taškus, nesančius tiesėje, galima sujungti atkarpa, nekertančia šios tiesės), t. p. plokštuma nedalija erdvės į 2 dalis. Riemanno neeuklidinė geometrija yra metrinė geometrija; Riemanno neeuklidinės geometrijos plokštumos metrinės savybės bet kurio taško aplinkoje sutampa su paprastos sferos metrinėmis savybėmis, t. y. dalį Riemanno plokštumos galima izometriškai atvaizduoti sferoje. Plokštumos tiesės atvaizduojamos sferos didžiuosiuose apskritimuose. Šios sferos spindulys R yra bendras visoms Riemanno erdvės plokštumoms; skaičius K = 1/R² vadinamas Riemanno plokštumos kreivumu. Visõs Riemanno neeuklidinės geometrijos plokštumõs modelis gaunamas laikantis, kad sferos (pakanka imti pusę sferos ir briaunos) simetriniai taškai centro atžvilgiu sutampa. Toks modelis leidžia išnagrinėti visas Riemanno neeuklidinės geometrijos plokštumos savybes: tiesė yra uždara, jos ilgis πR; nėra panašių trikampių; trikampio kampų suma α + β + γ > π; trikampio plotas S = R²(α + β + γ – π). Riemanno neeuklidinės geometrijos trimatės erdvės modelis gaunamas imant keturmatės Euklido erdvės hipersferą ir laikantis, kad simetriniai taškai hipersferos centro atžvilgiu sutampa.

Svarbiausias šios geometrijos idėjas 1854 išdėstė B. Riemannas.

1751