skaičių teorija

skačių teòrija, matematikos šaka, susiformavusi tiriant natūraliųjų skaičių savybes. Be natūraliųjų skaičių, skaičių teorija apima daugelį uždavinių, kylančių plėtojant ir taikant natūraliųjų skaičių tyrimams kitų matematikos sričių požiūrius ir metodus. Modernią skaičių teoriją sudaro elementarioji, algebrinė, analizinė, geometrinė, tikimybinė skaičių teorija. Pagal sprendžiamų uždavinių pobūdį ir taikomus metodus, kartais jai priskiriama adityvioji skaičių teorija ir aritmetinė kombinatorika. Teorinių žinių apie natūraliuosius skaičius būta jau senovės Babilonijos matematikų darbuose (apie 1700 pr. Kr. datuotoje molinėje lentelėje pateikiamas skaičių trejetų, susijusių lygybe x² + y² = z² rinkinys), tačiau skaičių savybių tyrimai sietini su Pitagoro mokykla. Pitagoriečiai skaičius laikė būties pagrindu, teikė jiems žmogiškųjų savybių, pvz., nagrinėjo tobuluosius, draugiškuosius skaičius. Antikinės graikų matematikos žinios apie skaičių teoriją pateikiamos Euklido Pradmenų 7–9 knygose; jose dėstomos pirminio, sudėtinio skaičiaus sąvokos, įrodyta, kad nėra didžiausio pirminio skaičiaus, nurodytas svarbus algoritmas bendrajam didžiausiam skaičių dalikliui rasti, t. p. teiginiai, kuriais remiantis daroma išvada, kad bet kuris skaičius reiškiamas pirminių skaičių sandauga vieninteliu būdu. Klasikinėje graikų matematikoje vyravo geometrija, vienintelis skaičių teorijos veikalas buvo Diofanto Aritmetika; jos 13 knygų pateikta uždavinių su sveikaisiais skaičiais, daugiausia tokių, kuriuos sprendžiant reikia rasti lygčių (vadinamų diofantinėmis lygtimis; vienos svarbiausių modernioje skaičių teorijoje) bei jų sistemų sprendinius sveikaisiais skaičiais. Skaičių teorijos žinių randama viduramžių kinų, indų ir islamo šalių matematikoje. Europoje skaičių teorijai skirta nedaug dėmesio net ir Renesanso laikotarpiu, kai buvo pradėta intensyviai studijuoti antikinės matematikos palikimą. Skaičių teorijos uždaviniai buvo pateikiami beveik vien pramogai. Skaičių tyrimo tradicijos Europoje pagrindą sukūrė P. de Fermat; naudodamasis Diofanto Aritmetikos veikalu jis kėlė ir sprendė uždavinius apie natūraliųjų skaičių savybes, tačiau savo įrodytus teiginius dažniausiai be įrodymo pateikdavo laiškuose kitiems matematikams. Bet ir tada skaičių teorija nesusilaukė daugiau dėmesio. Labiau skaičių teoriją imta plėtoti, kai P. de Fermat rezultatais susidomėjęs L. Euleris įrodė daugelį Fermat paskelbtų teoremų, t. p. panaudojo analizinius skaičių tyrimo metodus, kuriais remiantis buvo sukurta analizinė skaičių teorija. Matematikus plėtoti skaičių teoriją skatino ir dar neįrodyta Fermat (vadinama didžioji) teorema – jokio natūraliojo skaičiaus n‑tasis laipsnis, kai n > 2, negali būti išskaidytas į dviejų natūraliųjų skaičių n‑tųjų laipsnių sumą. Tolesnė skaičių teorijos raida siejama su C. F. Gausso veikalu Aritmetiniai tyrinėjimai (1801); jame ne tik susistemintos skaičių teorijos žinios, numatytos naujų tyrimų kryptys, bet ir apibrėžta labai svarbi skaičių teorijai lyginio sąvoka. Panaudodama šią sąvoką prancūzų matematikė Marie-Sophie Germain įrodė pirmąjį bendrojo pobūdžio teiginį apie didžiąją Fermat teoremą. Teoremos įrodymą tuo atveju, kai n = 5, sukūrė A.-M. Legendre’as ir P. G. L. Dirichlet. 1847 E. E. Kummeris įrodė, kad didžioji Fermat teorema teisinga, kai n yra pirminis skaičius, priklausantis didelei specialiųjų pirminių skaičių aibei. Jo darbai padėjo susiformuoti algebrinei skaičių teorijai. Skaičių teorijos tyrimai matematinės analizės metodais priskiriami analizinei skaičių teorijai. Be L. Eulerio, šios krypties formavimąsi lėmė P. G. L. Dirichlet ir B. Riemanno tyrimų rezultatai. B. Riemannas skaičių teorijoje pradėjo taikyti kompleksinio argumento funkcijų analizės metodus; jis pirminių skaičių pasiskirstymo tyrimus siejo su kompleksinio argumento funkcija (dzeta funkcija), o jo hipotezė apie šios funkcijos nulius tebėra vienas svarbiausių neišspręstų analizinės skaičių teorijos uždavinių. Naudojantis B. Riemanno metodais buvo įrodytas pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnis, kurį suformulavo A.-M. Legendre’as ir C. F. Gaussas. Šio dėsnio įrodymą 1898 paskelbė prancūzų matematikai Jacquesas Salomonas Hadamard’as ir Charlesʼis-Jeanas Étienneʼas Gustaveʼas Nicolas de la Vallée‑Poussinas. Daug prie skaičių teorijos vystymosi prisidėjo P. Čebyšovas. 20 a. pradžioje analizinės skaičių teorijos klausimus tyrinėjo Srinivasa Ramanudžanas, šis savamokslis matematikas, remdamasis puikia matematine intuicija, praturtino skaičių teoriją naujo pobūdžio rezultatais ir metodais. 20 a. skaičių teorijoje imta taikyti kitų matematikos sričių (analizės, algebros, geometrijos, tikimybių teorijos) požiūrius ir metodus. 20 a. 4 dešimtmetyje, sukūrus tikimybių teorijos aksiomatiką, pradėta taikyti jos modelius ir rezultatus, taip susiformavo tikimybinė skaičių teorija. Jos pradinininkai – vengrų matematikas Paulis Erdősas, lenkų – Markas Kacas, lietuvių – J. Kubilius ir kiti matematikai. Didžiąją Fermat teoremą imta sieti su diofantinės geometrijos objektais – elipsinėmis kreivėmis. 1995 Andrew Johnas Wilesas (Didžioji Britanija) paskelbė didžiosios Fermat teoremos įrodymą. Skaičių teorija visada buvo laikoma grynosios matematikos sritimi, tačiau 20 a. 8 dešimtmetyje, kai naudojantis skaičių teorijos rezultatais buvo sukurtos naujos skaitmeninės informacijos apsaugos priemonės – viešojo rakto šifrai, skaitmeniniai parašai, vartotojų autentifikavimo protokolai, imta domėtis algoritmine skaičių teorija – įvairių skaičiavimų efektyvių algoritmų kūrimu ir tyrimu. Moderniąjai skaičių teorijai būdinga didelė metodų ir uždavinių įvairovė bei gausios sąsajos su kitomis matematikos sritimis. Nemažai neatsakytų klausimų paveldėta iš ankstesnių amžių, pvz., ar yra nelyginių tobulųjų skaičių, ar kiekvienas lyginis, didesnis už 2, skaičius yra dviejų pirminių suma? Kitiems uždaviniams suvokti reikia daugiau skaičių teorijos žinių (Riemanno hipotezė, Langlandso programos hipotezės ir kita). Skaičių teorijos tyrimus plėtoja ir Lietuvos matematikai: tarptautinį pripažinimą pelnė lietuvių matematikų B. Grigelionio, E. Manstavičiaus, A. Laurinčiko darbai, skirti algebrinės, analizinės bei tikimybinės skaičių teorijos uždaviniams.

1067