Stieltjeso integralas

Stieltjeso integralas (Stltjeso integrãlas), Riemanno integralo apibendrinimas, kai viena funkcija integruojama kitos funkcijos atžvilgiu. Atkarpa [a, b], kurioje apibrėžtos dvi funkcijos f ir g, taškais a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n = b suskaidoma į smulkesnes atkarpas A_k = [x_k – 1, x_k], čia k = 1, …, n. Kiekvienoje atkarpoje A_k parenkama po tašką s_k ir sudaroma integralinė suma S = $\sum _{k=1}^n$ f(S_k)[g(x_k) – g(x_k–1)]. Atkarpos [a, b] skaidymas smulkinamas taip, kad didžiausios iš atkarpų A_k ilgis artėtų prie nulio. Jei smulkinant atkarpą [a, b] egzistuoja integralinių sumų S riba, nepriklausanti nei nuo atkarpos skaidymo būdo, nei nuo taškų s_k parinkimo, tai ji vadinama funkcijos f Stieltjeso integralu funkcijos g atžvilgiu ir žymima $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ f(x)dg(x). Šis integralas pavadintas Th. J. Stieltjeso vardu. Jei funkcija g diferencijuojama ir jos išvestinė g′ yra tolydi funkcija, tai Stieltjeso integralas $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ f(x)dg(x) sutampa su Riemanno integralu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ f(x)g′(x)dx. Stieltjeso integralas $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ f(x)dg(x) apibrėžtas, jei funkcija f yra tolydi ir funkcija g turi baigtinę variaciją. Tokiu atveju tolydžiųjų funkcijų Banacho erdvėje Stieltjeso integralas yra tiesinio aprėžto funkcionalo išraiška.

1751