Tayloro eilutė

Tayloro eilutė (Teloro eilùtė), glodžiosios funkcijos išraiška laipsninių funkcijų begaline suma. Jei funkcija f yra be galo daug kartų diferencijuojama taško a aplinkoje, tai jos Tayloro eilutė yra laipsninė eilutė f(a) + $\frac{f^{\text{'}}(a)}{1!}$(x – a) + $\frac{f^{\text{'}\text{'}}(a)}{2!}$(x – a)² +$\frac{f^{\text{'}\text{'}}(a)}{3!}$(x – a)³ + ... + $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$(x – a)ⁿ + ... (1); čia f⁽ⁿ⁾(a)ⁿ yra funkcijos f n‑toji išvestinė taške a. Kai (1) išraiškoje a = 0, gauta laipsninė eilutė f(0) +$\frac{f^{\text{'}}(0)}{1!}$x + $\frac{f^{\text{'}\text{'}}(0)}{2!}$x² + ... + $\frac{f^n(0)}{n!}$xⁿ + ... vadinama Maclaurino eilute. Kada Tayloro eilutė konverguoja ir jos suma tam tikrame intervale lygi funkcijos f reikšmei f(x) priklauso nuo laipsninės eilutės (1) koeficientų. Pvz., eksponentinės funkcijos išraiška Tayloro eilute, kai a = 0, yra: e^x = 1 + $\frac{x}{1!}$ + $\frac{x^2}{2!}$ + ... + $\frac{x^n}{n!}$ + ... ir lygybė teisinga visiems realiesiems skaičiams x. Jei kompleksinio kintamojo z funkcija yra analizinė skritulyje |z – a| < r ir apskritime |z – a| = r turi bent vieną ypatingąjį tašką, tai funkcija šiame skritulyje išreiškiama Tayloro eilute, kuri diverguoja bent viename apskritimo |z – a| = r ypatingajame taške.

Tayloro eilutę pagrindė 1712 B. Tayloras.

1751

-Maclaurino eilutė, Maklorino eilutė