tiesinė diferencialinė lygtis

tiesnė diferenciãlinė lygts, diferencialinė lygtis, kurios sprendiniai sudaro vektorinę erdvę. Pvz., dviejų lygties sprendinių suma yra kitas tos pačios lygties sprendinys. Tiesinės diferencialinės lygtys būna paprastosios arba dalinių išvestinių. Paprastoji tiesinė diferencialinė lygtis išreiškiama lygtimi Ly = f arba tiksliau L[y(x)] = f(x); čia y yra nežinomoji funkcija, f yra žinomoji funkcija (vadinama šaltiniu arba laisvuoju nariu) ir L yra diferencialinis operatorius, apibrėžiamas formule L ≡ a₀(x)Dⁿ + a₁(x)D^n – 1 + … + a_n – 1(x)D + a_n(x)D⁰, a₀(x) ≠ 0; čia D – diferencijavimo operatorius, D⁰ – tapatusis operatorius, a₀(x), a₁(x), … , a_n(x) – žinomos funkcijos koeficientai. Tuomet turime n‑osios eilės tiesines diferencialines lygtis a₀(x)y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^{(n – 1)} + … + a_n – 1(x)y′ + a_n(x)y = f(x), (*) tiesiškai siejančią nežinomąją funkciją y = y(x) ir jos išvestines y′, …, y^{(n – 1)}, y⁽ⁿ⁾. I eilės tiesinės diferencialinės lygties pavidalas y′ + a(x)y = f(x). Jei f(x) ≡ 0; ši lygtis vadinama homogenine tiesine diferencialine lygtimi, priešingu atveju – nehomogenine tiesine diferencialine lygtimi. Homogeninė (*) tiesinė diferencialinė lygtis turi n tiesiškai nepriklausomų sprendinių φ₁(x), …, φ_n(x), kurie sudaro jos fundamentaliąją sistemą (bazę sprendinių tiesinėje erdvėje). Fundamentaliosios sistemos Wronskio determinatas W [φ₁, …, φ_n](x) ≠ 0. Homogeninės tiesinės diferencialinės lygties bendrasis sprendinys yra y_b(x) = $\sum _{k=1}^n$c_kφ_k(x); čia c_k – laisvosios konstantos. Nehomogeninė tiesinė diferencialinė lygtis turi atskirą sprendinį, gaunamą iš y_b(x) konstantas c_k pakeitus konkrečiomis išraiškomis, priklausančiomis nuo Wronskio determinanto. Nehomogeninės tiesinės diferencialinės lygties bendrasis sprendinys lygus homogeninės tiesinės diferencialinės lygties bendrojo ir nehomogeninės tiesinės diferencialinės lygties atskirojo sprendinių sumai. Paprastoji tiesinė diferencialinė lygtis arba tokių lygčių sistema gali būti konvertuojama į I eilės vektorinę tiesinę diferencialinę lygtį, kuria ieškoma nežinoma vektorinė funkcija arba matrica. Bendroji vektorinių lygčių teorija yra analogiška paprastųjų I eilės tiesinių diferencialinių lygčių teorijai, tačiau sudėtingesnė, nes matricos, kurios aprašo tokias sistemas, sudaro nekomutatyviąją algebrą. I ir II eilės (ši lygtis labai svarbi matematinėje fizikoje) dalinių išvestinių tiesinės diferencialinės lygties bendrasis pavidalas yra daug sudėtingesnis.

1566

148