tiesnė topològinė erdv, aibė E, turinti 2 suderintas struktūras: vektorinės erdvės ir topologinės erdvės. Topologija nusako atvirųjų aibių sistemą aibėje E, kurių atžvilgiu vektorinės erdvės operacijos (suma ir sandauga iš skaliaro) yra tolydžiosios. Tiesinės topologinės erdvės E topologija apibrėžiama nulio aplinkomis. Vektorinės erdvės E poaibių rinkinys B yra nulio aplinkų fundamentali sistema, jei ji turi šias savybes: bet kurioms aibėms U, V ∈ B egzistuoja aibė W ∈ B, kuri yra aibių U ir V poaibis; jei aibė V ∈ B, tai galima rasti tokią aibę U ∈ B, kad x + y ∈ V bet kurio dvejeto x, y ∈ U atveju; kiekviena aibė V ∈ B yra radiali ir balansuota. Tiesinė topologinė erdvė E, kurioje nulio aplinkos yra iškilios aibės ir sudaro nulio aplinkų fundamentaliąją sistemą, vadinama lokaliai iškiliąja ir nusakoma atitinkama pusnormių šeima P. Jei pusnormių šeima P turi tik vieną elementą p, tai tiesinė topologinė erdvė su topologija , gauta iš pusnormės p, yra pusiau normuota; jei p yra norma, tai tiesinė topologinė erdvė – normuota erdvė. Jei pusnormių šeima P yra suskaičiuojama, tai tiesinė topoliginė erdvė yra metrizuojama. Pilna metrizuojama lokaliai iškilioji tiesinė topologinė erdvė vadinama Fréchet erdve. Šios ir dar bendresnės lokaliai iškiliosios tiesinės topologinės erdvės svarbios apibendrintųjų funkcijų ir mato teorijoje.
1751