tiesinis operatorius

tiẽsinis operãtorius, tiẽsinė transformãcija, tiẽsinis ãtvaizdis, funkcija tarp dviejų vektorinių erdvių, suderinta su šių erdvių tiesine struktūra. Jei X ir Y yra vektorinės erdvės su ta pačia skaliarų aibe, tai funkcija A: X→Y, tenkinanti sąlygą A(αx₁ + αβx₂) = αAx₁ + βAx₂ visiems skaliarams α, β ir visiems X erdvės elementams x₁, x₂, vadinama tiesiniu operatoriumi. Pvz., m × n matrica A apibrėžia tiesinį operatorių, kuris kiekvienam vektorių stulpeliui x ∈ Rⁿ priskiria vektorių stulpelį Ax ∈ R^m. Jei C[a, b] yra tolydžiųjų funkcijų intervale [a, b] tiesinė erdvė, tai Riemanno integralas su kintamuoju viršutiniu rėžiu apibrėžia tiesinį operatorių A su reikšmėmis (Ax)(t) = $\underset{a}{\overset{t}{\int }}$x(s)ds, t ∈ [a, b] kiekvienam x ∈ C[a, b], vadinamą integraliniu operatoriumi. Jei D yra diferencijuojamųjų realaus kintamojo funkcijų tiesinė erdvė, tai išvestinė funkcija apibrėžia tiesinį operatorių A su reikšmėmis (Ax)(t) = x′(t), t ∈ R, kiekvienam x ∈ D, vadinamą diferencialiniu operatoriumi. Jei Y erdvės elementai Ax_n konverguoja į Ax, kai erdvės elementai x_n konverguoja į x, tai tiesinis operatorius A vadinamas tolydžiuoju. Aibė visų tiesinių operatorių tarp vektorinių erdvių X ir Y pati yra tiesinė erdvė. Jei tiesinės erdvės X ir Y yra normuotos ir |Ax| ≤ C|x| (C teigiamas skaičius) su kiekvienu x ∈ X, tai tiesinis operatorius A vadinamas aprėžtuoju. Minimalusis skaičius C, kuriam teisinga pastaroji nelygybė yra tiesinio operatoriaus A norma. Aprėžtų tiesinių operatorių A:X→Y aibė yra tiesinė normuota erdvė, be to, jei Y yra pilnoji erdvė, tai ta aibė yra Banacho erdvė. Kiekvienas tolydusis tiesinis operatorius yra aprėžtas ir, atvirkščiai, kiekvienas aprėžtasis tiesinis operatorius yra tolydus. Jei A yra aprėžtasis tiesinis operatorius tarp Banacho erdvių X ir Y, X^* ir Y^* yra atitinkamos jungtinės erdvės, tai funkcija A^*:Y^*→X^* su reikšmėmis A^*f(x) = f(Ax), x ∈ X, f ∈ Y vadinama jungtiniu tiesiniu operatoriumi. Jei X = Y yra Hilberto erdvė, tai jungtinis tiesinis operatorius reiškiamas skaliarine sandauga (Ax, y) = (x, A^*y). Jei A^* = A, tai tiesinis operatorius vadinamas savijungiu, jei A^* = A^–1 – unitariniu. Dažniausiai neaprėžti yra diferencialiniai, singuliarūs integraliniai ir kai kurie kiti tiesiniai operatoriai. Jei iš x_n→x ir Ax_n→y gaunama, kad x ∈ D(A) ir y = Ax (D(A) – operatoriaus A apibrėžtumo sritis), tai A vadinamas uždaruoju. Neaprėžtojo tiesinio operatoriaus apibrėžimo sritis D(A) nesutampa su erdve X. Tiesiniai operatoriai yra svarbūs tiriant matematinės fizikos, kvantinės mechanikos įvairias diferencialines lygtis.

1751