tikimybinė skaičių teorija

tikimýbinė skačių teòrija, skaičių teorijos kryptis, kurios uždaviniai nagrinėjami taikant tikimybių teorijos metodus bei sąvokas. Siauresne prasme tikimybinė skaičių teorija vadinama aritmetinių funkcijų reikšmių pasiskirstymo teorija. Kiekvienas natūralusis skaičius vieninteliu būdu išskaidomas į pirminių skaičių sandaugą, pvz., 20 = 2 ' 2 ' 5. Šis teiginys (pagrindinė aritmetikos teorema) atskleidžia pirminių skaičių svarbą. Skaidinys lemia kitas natūraliojo skaičiaus n savybes, pvz., skirtingų pirminių daliklių skaičių ω(m), visų daliklių skaičių d(m) (ω(20) = 2, d(20) = 6) ir taip toliau. Tyrinėjant pirminių skaičių seką pastebėta, kad jie natūraliųjų skaičių aibėje išsidėstę labai netolygiai: kartais jie būna greta (11 ir 13), kartais du pirminius skiria labai ilga sudėtinių skaičių seka.

Istorija

Vienas pirmųjų pirminių skaičių kiekį tyrinėti pradėjo C. F. Gaussas: užuot bandžius nustatyti, kur pirminiai skaičiai yra, pradėta skaičiuoti, kiek jų yra, t. y. skaičiuoti pirminių skaičių, ne didesnių už n, kiekį π(n) (pvz., π(20) = 8). C. F. Gaussas, A.-M. Legendre’as suformulavo hipotezę apie π(n) kitimo pobūdį, kai n didėja; ši hipotezė buvo įrodyta 1899 (Charlesʼis Jeanas de la Vallée-Poussinas, Jacquesas Salomonas Hadamard’as). Panašus reikšmių išsidėstymo netolygumas būdingas ir kitiems natūraliųjų skaičių savybes reiškiantiems dydžiams, pvz., funkcijoms ω(m), d(m). Imta tyrinėti, koks yra tokių netolygiai išsidėsčiusių funkcijų reikšmių vidurkis arba kiek yra skaičių m ≤ n, kuriems funkcija įgyja tam tikrą fiksuotą reikšmę. Edmundas Georgas Hermannas Landau 1900, G. H. Hardy ir Srinivasa Ramanudžanas 1917 vertino, kiek yra skaičių m ≤ n, kuriems ω(m) = k, ir nustatė tam tikra prasme vidutinę ω(m) reikšmę, kai m ≤ n. Palengva brendo mintis, kad aritmetinių funkcijų reikšmių ir atsitiktinių dydžių reikšmių pasiskirstymus valdo tie patys dėsningumai. Šis suvokimas sustiprėjo, kai Paulas Erdősas ir Markas Kacas 1939 įrodė, kad funkcijos ω(m) reikšmių pasiskirstymas paklūsta normaliajam dėsniui (tikimybių teorijos centrinė ribinė teorema). Lemiamą reikšmę tikimybinės skaičių teorijos formavimuisi turėjo J. Kubiliaus tikimybinių metodų taikymo skaičių teorijoje rezultatai, išdėstyti monografijoje Tikimybiniai metodai skaičių teorijoje (1959; 1962 rusų kalba; 1964, ⁵1997 anglų kalba); joje nagrinėjamos adityviosios ir multiplikatyviosios aritmetinės funkcijos (jeigu m ir n neturi bendrų pirminių daliklių, tai ω(mn) = ω(m) + ω(n), ω(m) yra adityvioji funkcija; d(mn) = d(m)·d(n), d(m) yra multiplikatyvioji funkcija). J. Kubilius sukūrė tikimybinės erdvės modelį, leidžiantį adityviąsias funkcijas interpretuoti kaip atsitiktinių dydžių sumas, įrodė centrinę ribinę teoremą adityviųjų funkcijų klasei (vadinama Kubiliaus klasė) ir kitus tikimybinio bei analizinio pobūdžio teiginius.

Lietuvoje

J. Kubilius ir jo mokiniai kėlė ir nagrinėjo tikimybinės skaičių teorijos įvairius uždavinius: adityviųjų ir multiplikatyviųjų funkcijų reikšmių pasiskirstymo bei vidurkių klausimus (Albertas Bakštys, Gintautas Bareikis, Zigmas Kryžius, A. Laurinčikas, E. Manstavičius, Antanas Mačiulis, G. Misevičius, Vilius Nakutis, R. Skrabutėnas, V. Stakėnas, E. Stankus, G. Stepanauskas, J. Šiaulys, Romualdas Uždavinys), aritmetinio atsitiktinių procesų modeliavimo problemas (Gintautas Bareikis, Zigmas Kryžius, E. Manstavičius), adityviųjų funkcijų, apibrėžtų algebrinėse struktūrose, reikšmių pasiskirstymo dėsnius (Zigmas Juškys, E. Manstavičius, Igoris Orlovas), aritmetines Farey trupmenų savybes (V. Stakėnas, J. Šiaulys). E. Manstavičius ir Vytas Zacharovas tikimybinei skaičių teorijai būdingus metodus taiko tikimybinėje kombinatorikoje.

1067