vektorinė funkcija

vektornė fùnkcija, funkcija r, kuri kiekvienam realiųjų skaičių aibės T elementui t priskiria vektorinės erdvės V elementą r(t). Kai V yra dvimatė Euklido erdvė R², tai vektorinės funkcijos r reikšmė taške t yra dvimatis vektorius (r₁(t), r₂(t)). Kintant argumentui t vektoriaus r(t) koordinačių reikšmės r₁(t) ir r₂(t) apibrėžia dvi funkcijas r₁ ir r₂, vadinamas vektorinės funkcijos r komponentėmis. Naudojant R² erdvės bazinius vektorius e₁ = (1,0) ir e₂ = (0,1) vektorinė funkcija r reiškiama tų komponenčių suma e₁r₁ + e₂r₂. Kai vektorinė erdvė V yra trimatė Euklido erdvė R³, panašiu būdu vektorinė funkcija r reiškiama trimis komponentėmis r₁, r₂, r₃. Tarkime, kad r yra vektorinė funkcija iš realiųjų skaičių intervalo (a, b) į Euklido erdvę R² ir t ∈ (a,b). Kai skaičius h yra pakankamai mažas, vektorių skirtumo ir šio skaičiaus santykis R(h) = [r(t + h) – r(t)] / h yra V erdvės elementas. Jei santykis R(h) turi ribą, kai h artėja į nulį, tai ji priklauso erdvei V, žymima r'(t) ir vadinama vektorinės funkcijos r išvestine taške t. Panašiai apibrėžiamos kitos funkcijų savybės. Vektorinė funkcija yra tolydi, diferencijuojama, integruojama tada ir tik tada, kai tokios yra jos visos komponentės. Kai vektorinėje erdvėje V yra konkreti koordinačių sistema, vektorinė funkcija r tapatinama su šeima vektorių v(t), t ∈ T, kurių pradžia yra koordinačių pradžios taškas, o galas – V erdvės taškas, kurio koordinatės reiškiamos r komponenčių reikšmėmis. Kintant argumentui t ∈ T, šios vektorių šeimos v(t) galai brėžia kreivę, vadinamą hodografu. Argumentą t interpretuojant kaip laiką vektorinė funkcija r naudojama plokštumoje R² arba erdvėje R³ judančio taško trajektorijai reikšti. Jei tokia funkcija r turi išvestinę r'(t) taške t, tai ji vadinama judančio taško momentiniu greičiu tame taške. Diferencialinėje geometrijoje vektorinė funkcija naudojama kreivėms reikšti.

1751