trikampio taisyklė: AB – vektorius a, BC – vektorius b, AC – vektorių suma a + b
vèktorių álgebra, vektorinio skaičiavimo sritis, nagrinėjanti paprasčiausius veiksmus su vektoriais (vektorių sumą, vektoriaus sandaugą iš skaičiaus, vektorių skaliarinę sandaugą ir vektorinę sandaugą). Vektorius a plokštumoje arba trimatėje erdvėje yra kryptinė tiesės atkarpa, nusakoma atkarpos ilgiu |a| ir kryptimi, dažniausiai vaizduojama strėle. Du vektoriai yra lygūs, jei jie lygiagretūs vienas su kitu ir jų ilgiai sutampa; jie vadinami laisvaisiais vektoriais. Apibrėžiant laisvųjų vektorių a ir b sumą vektoriaus a galas tapatinamas su vektoriaus b pradžia. Tada vektorių a ir b suma yra vektorius a + b, kurio pradžia sutampa su vektoriaus a pradžia, o galas sutampa su vektoriaus b galu.
Taip apibrėžtai vektorių a ir b sumai a + b galioja įprastinės sumos savybės. Pvz., bet kuriems vektoriams a ir b galioja sumos distributyvumo savybė: a + b = b + a. Laisvųjų vektorių suma vadinama trikampio taisykle. Iš jos gaunama lygiagretainio taisyklė. Vektoriaus a ir skaičiaus k sandauga tada, kai a ≠ 0 ir k ≠ 0, yra vektorius ka, kurio ilgis yra |k||a|, o ka kryptis sutampa su vektoriaus a kryptimi, jei k > 0, ir ka kryptis yra priešinga a krypčiai, jei k < 0. Kai vektorius a = 0 arba skaičius k = 0, tai sandauga ka = 0. Vektoriaus ir skaičiaus sandauga turi įprastines tokiam veiksmui savybes. Pvz., bet kuriems vektoriams a ir b bei skaičiui k galioja sumos distributyvumo savybė: k(a + b) = ka + kb. Du vektoriai a ir b vadinami tiesiškai priklausomais, kai egzistuoja tokie skaičiai k ir l, kad ka + lb = 0. Tada du vektoriai a ir b yra tiesiškai nepriklausomi, kai iš lygybės ka + lb = 0 gaunama, kad skaičiai k ir l yra lygūs nuliui.
lygiagretainio taisyklė
Panašiai apibrėžiami trys ir daugiau tiesiškai nepriklausomi vektoriai. Du tiesiškai nepriklausomi plokštumos vektoriai i ir j sudaro bazę toje plokštumoje. Bet kuris plokštumos vektorius a reiškiamas suma a1i + a2j; čia skaičiai a1, a2 – vektoriaus a koordinatės bazės i ir j atžvilgiu. Tam tikroje bazėje koordinatės vienareikšmiškai apibrėžia vektorius a = (a1, a2) ir b = (b1, b2). Šių vektorių ir skaičių k, l derinys ka + lb reiškiamas koordinatėmis (ka1 + lb1, ka2 + lb2).
Panašiai trimis koordinatėmis reiškiami erdvės vektoriai pasirinktosios trijų tiesiškai nepriklausomų vektorių bazės atžvilgiu.
vektorinė sandauga
Apibrėžiant trimatės edvės laisvųjų vektorių a ir b vektorinę sandaugą a × b = s, vektoriaus a pradžia tapatinama su vektoriaus b pradžia. Kai a ir b nėra lygiagretūs vienas su kitu, abu yra vienoje plokštumoje α ir sudaro kampą φ, vektorių a ir b vektorinė sandauga yra vektorius a × b, kurio ilgis yra |a||b|sin φ, o kryptis statmena plokštumai α taip, kad, žiūrint iš vektoriaus a × b galo, vektorius a sukamas kampu φ prieš laikrodžio rodyklę sutampa su vektoriumi b. Lygiagrečių vektorių vektorinė sandauga yra nulinis vektorius. Trimatės erdvės vektorių a, b, ir c mišriąja sandauga vadinama vektorių a × b ir c skaliarinė sandauga. Visos vektorių sandaugos reiškiamos tų vektorių koordinatėmis atitinkamu būdu.
1751